Question

【題目】如圖，某城市有一塊半徑為40的半圓形（以為圓心，為直徑）綠化區域，現計劃對其進行改建，在的延長線上取點，使，在半圓上選定一點，改建后的綠化區域由扇形區域和三角形區域組成，其面積為，設.

（1）寫出關于的函數關系式，并指出的取值范圍；

（2）試問多大時，改建后的綠化區域面積最大.

Answer 1

【答案】（1）S＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．（2）

【解析】

試題分析：（1）由兩部分組成，一是扇形區域，由扇形面積公式得＝800x，二是三角形區域，由三角形面積公式得·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．最后根據角的實際意義確定定義域（2）利用導數求函數最值：先求導數，再求導函數在定義區間上的零點，最后列表分析極值點，確定最值點

試題解析：（1）因為扇形 AOC的半徑為 40 m，∠AOC＝x rad，

所以 扇形AOC的面積S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以△COD 的面積S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．

…………………… 4分

從而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．

由 S′(x)＝0，解得x＝．

從而當0＜x＜時，S′(x)＞0；當＜x＜π時， S′(x)＜0 ．

因此 S(x)在區間(0，)上單調遞增；在區間(，π)上單調遞減．

所以 當x＝，S(x)取得最大值．

答：當∠AOC為時，改建后的綠化區域面積S最大