Question

（2010•柳州三模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，右焦點為F，右準線與軸交于點B，且與一條漸近線交于點C，點O為坐標原點，又|OA|=2|OB|，

OA

•

OC

=2過點F的直線與雙曲線右支交于點M、N，點P為點M關于軸的對稱點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）證明：B、P、N三點共線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據已知線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，表示出A，B的坐標．根據|

OA

|=2|

OB

|以及

OA

•

OC

=2，聯立求出a與c的值，然后寫出雙曲線的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得出B，F的坐標，然后設出直線方程．將直線方程代入雙曲線方程，設出兩個交點的坐標，用設而不求韋達定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值，此時即可表示出

BP

，

BN

，最后根據向量共線的定義即可判定B、P、N三點共線．

解答：解：（Ⅰ）A（a，0），B (

a2

c

，0)
由|

OA

|=2|

OB

|⇒ 

a2

c

=

a

2

(1)
由

x= a2 c y= b a x

⇒C(

a2

c

，

ab

c

)，
∴

OA

•

OC

=2⇒

a2

c

=2(2)
解（1）（2）得a=2，c=4
雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
設直線l的方程為x=ty+4

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

⇒(3t2-1)y2+24ty+36=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則P(x1，-y1)∴

y1+y2= -24t 3t2-1 y1y2= 36 3t2-1

∴

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
=2ty1y2+3(y1+y2)=2t

36

3t2-1

+3

-24

3t2-1

=0
所以向量

BP

與

BN

共線，
即B、P、N三點共線．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及雙曲線的方程．根據|

OA

|=2|

OB

|以及

OA

•

OC

=2，聯立求出a與c的值是關鍵．第二問在第一問的基礎上運用設而不求韋達定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值．屬于中檔題．