Question

（2009•臨沂一模）甲、乙兩人進行射擊訓練，命中率分別為

2

3

與P，且乙射擊2次均未命中的概率為

1

16

，
（I）求乙射擊的命中率；
（Ⅱ）若甲射擊2次，乙射擊1次，兩人共命中的次數記為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）設“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B，由題意得(1-P(B))2=(1-P)2=

1

16

，解方程即可求解
（II）由題意和（I）知P(A)=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

，P(B)=

3

4

，P(

.

B

)=

1

4

．，ξ可能的取值為0，1，2，3，根據相互獨立事件的概率公式求解出每種情況下的概率即可求得ξ的分布列，進而可求期望值

解答：解：（I）設“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B
由題意得(1-P(B))2=(1-P)2=

1

16

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
解得P=

3

4

或P=

5

4

（舍去），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（5分）
故乙射擊的命中率為

3

4

．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（II）由題意和（I）知P(A)=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

，P(B)=

3

4

，P(

.

B

)=

1

4

．
ξ可能的取值為0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(

.

A

)P(

.

A

)P(

.

B

)=

1

3

×

1

3

×

1

4

=

1

36

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）P(ξ=1)=2P(A)P(

.

A

)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(

.

A

)P(B)=2×

2

3

×

1

3

×

1

4

+

1

3

×

1

3

×

3

4

=

7

36

．（8分）P(ξ=3)=P(A)P(A)P(B)=

2

3

×

2

3

×

3

4

=

12

36

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=1-

1

36

-

7

36

-

12

36

=

16

36

┉┉┉（10分）
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 36	7 36	16 36	12 36

由此得ξ的數學期望Eξ=0×

1

36

+1×

7

36

+2×

16

36

+3×

12

36

=

25

12

┉┉┉（12分）

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率公式的應用，離散型隨機變量的分布列及期望值的求解．