Question

（2009•臨沂一模）已知A、B是拋物線x²=4y上的兩點，線段AB的中點為M（2，2），則|AB|等于

4

2

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（法一）：由x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，

1

2

(x1+x2)=2兩式相減，結合中點坐標公式可求直線AB的斜率，進而可求直線AB的方程，聯立直線與拋物線的方程，可求A，B的坐標，從而可求AB
（法二）由題意可得直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程為y-2=k（x-2）
聯立方程

y-2=k(x-2) x2=4y

整理可得x²-4kx+8（k-1）=0，由方程的跟與系數關系及中點坐標公式，可求直線AB的斜率，及直線AB的方程，進而可求AB

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（法一）：則x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，

1

2

(x1+x2)=2
兩式相減可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂）
KAB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=1
直線AB的方程為y-2=x-2即x-y=0
聯立方程

x2=4y y=x

可得x²=4x

x=0 y=0

x=4 y=4

AB=4

2

（法二）由題意可得直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程為y-2=k（x-2）
聯立方程

y-2=k(x-2) x2=4y

整理可得x²-4kx+8（k-1）=0
x₁+x₂=4k
由中點坐標公式可得

x1+x2

2

=2k=2
k=1
以下同法一的求解
故答案為：4

2

點評：本題主要考查了直線與曲線相交求解弦長問題，解決此類問題最一般的方法是聯立直線與曲線方程，結合方程的根與系數關系及弦長公式可求，要注意方法一中“設而不求”方法的應用．