Question

【題目】如圖，已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．

（1）求橢圓C的方程；
（2）求 的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR||OS|為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，得a=2， ，

∴c= ，b= =1，

故橢圓C的方程為

（2）解：方法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，

設(shè)M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨設(shè)y1＞0．

由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以 ． （*）

由已知T（﹣2，0），則 ， ，

∴

=（x1+2）2﹣

=

= ．

由于﹣2＜x1＜2，

故當(dāng) 時， 取得最小值為 ．

由（*）式， ，故 ，

又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到 ．

故圓T的方程為： ．

方法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，

故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），

不妨設(shè)sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），

則

=（2cosθ+2）2﹣sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

= ．

故當(dāng) 時， 取得最小值為 ，

此時 ，

又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到 ．

故圓T的方程為： ．

（3）解：方法一：設(shè)P（x0，y0），

則直線MP的方程為： ，

令y=0，得 ，

同理： ，

故 （**）

又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，

故 ， ，

代入（**）式，

得： ．

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值．

方法二：設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），

不妨設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．

則直線MP的方程為： ，

令y=0，得 ，

同理： ，

故 ．

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值

【解析】（1）依題意，得a=2， ，由此能求出橢圓C的方程．（2）法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），設(shè)y1＞0．由于點(diǎn)M在橢圓C上，故 ．由T（﹣2，0），知 = ，由此能求出圓T的方程．
法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），設(shè)sinθ＞0，由T（﹣2，0），得 = ，由此能求出圓T的方程．（3）法一：設(shè)P（x0 ， y0），則直線MP的方程為： ，令y=0，得 ，同理： ，…故 ，由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值．
法二：設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．則直線MP的方程為： ，由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值．
【考點(diǎn)精析】掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本，需要知道圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．