Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）方程可化為，易知已是該方程的根，從而要使原方程只有一解，即要求方程有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解，結(jié)合圖象可得a的范圍；
（2）不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，分，兩種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可；

（1）方程，即，變形得，

顯然，已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，即要求方程有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解，

.即的取值范圍是.

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即對(duì)恒成立.

①當(dāng)時(shí)，式顯然成立，此時(shí).

②當(dāng)時(shí)，式可變形為

令

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí).

綜合①②，得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.