Question

我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中a²＝b²＋c²，a＞0，b＞c＞0．

如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A₁A₂的中點．

(1)若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

(2)設P是“果圓”的半橢圓(x≤0)上任意一點．求證：當|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處；

(3)若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)， 　　， 　　于是， 　　所求“果圓”方程為，; 　　(2)設，則 　　 　　， 　　，的最小值只能在或處取到． 　　即當取得最小值時，在點或處; 　　(3)，且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可． 　　 　　． 　　當，即時，的最小值在時取到，此時的橫坐標是． 　　當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是． 　　綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或．