Question

【題目】函數（，e是自然對數的底數，）存在唯一的零點，則實數a的取值范圍為( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

函數，是自然對數的底數，存在唯一的零點等價于函數 與函數只有唯一一個交點，由，，可得函數 與函數唯一交點為，的單調，根據單調性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數 與函數只有唯一一個交點，則，即可解得實數的取值范圍．

解：函數，是自然對數的底數，存在唯一的零點等價于：

函數 與函數只有唯一一個交點，

，，

函數 與函數唯一交點為，

又，且，，

在上恒小于零，即在上為單調遞減函數，

又 是最小正周期為2，最大值為的正弦函數，

可得函數 與函數的大致圖象如圖：

要使函數 與函數只有唯一一個交點，則，

， ，

，解得，

又，

實數的范圍為．

故選：．