Question

（2008•湖北模擬）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，右準(zhǔn)線方程為x=

3 2

2

，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）若直線l：y=kx+t（t＞0）與以F₁F₂為直徑的圓相切，并與橢圓C交于A，B兩點，向量

AB

| AB |

在向量

F1F

2方向上的投影是p，且(

OA

•

OB

)p2=m（O為坐標(biāo)原點），求m與k的關(guān)系式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，當(dāng)m∈[

1

4

，

1

2

]時，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先利用離心率條件求出a，c的關(guān)系式，再利用右準(zhǔn)線方程得到a，c的另一個關(guān)系式結(jié)合a，b，c的關(guān)系即可求得a，b．最后寫出橢圓的方程即可；
（II）先圓心到直線的距離等于半徑可得t和k滿足的關(guān)系式，把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立求出A、B兩點的坐標(biāo)，再利用 (

OA

•

OB

)p2=m即可求出m與k的關(guān)系式；
（III）用類似于（2）的方法求出m，k之間的關(guān)系式，求出弦AB的長，再把△AOB面積整理成關(guān)于m的函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出△AOB面積的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）由條件知：

c

a

=

6

3

，

a2

c

=

3 2

2

及c2=a2-b2．
得a=

3

，c=

2

．b=1．
∴橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）依條件有：

|t|

1+k2

=

2

，即t²=2（1+k²）．（4分）
由

y=kx+t x2 3 +y2=1

得：（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0．△=12（k²-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-6kt

3k2+1

，x1•x2=

3t2-3

3k2+1

•
又t²=2k²+1，∴

OA

•

OB

=x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=

5(k2+1)

3k2+1

•
由

AB

| AB |

在

F1F2

方向上的投影是p，得P2=cos2＜

AB

，

F1F2

＞=

1

1+k2

•（7分）∴m=(

OA

•

OB

)p2=

5

3k2+1

•（10分）
（Ⅲ）由弦長公式得|AB|=

1+k2

△

3k2+1

=

2 3 k4-1

3k2+1

．
由

5

3k2+1

=m，得k2=

5-m

3m

•∴|AB|=

2 3

15

-8m-10m+25．

（12分）∴S△AOB=

1

2

|AB|•

2

=

6

15

-8m2-10m+25

=

6

15

-8(m+ 5 8 )2+ 225 8

．
又m∈[

1

4

，

1

2

]，∴S△AOB∈[

- 3

5

，

2 33

15

]．（14分）

點評：本題是對函數(shù)，向量，拋物線以及圓的綜合考查、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．