Question

（2008•湖北模擬）已知f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數，且在點（2，f（2））處的切線方程為9x-y-16=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）+m的圖象與x軸僅有一個公共點，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知f（x）為奇函數，利用奇函數的定義求得b，d．再利用導數的幾何意義知在x=2處的導數等于切線的斜率，切點在函數f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數f（x）的解析式．
（2）將題中條件：“y=f（x）+m的圖象與x軸僅有一個公共點”等價于“g（x）=x³-3x+m的其圖象和x軸只有一個交點”，利用導數求得原函數的極值，最后要使g（x）=x³-3x+m的其圖象和x軸只有一個交點，得到關于m的不等關系，從而求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，∴b=d=0，∴f（x）=ax³+cx∵f（x）過點（2，2），f'（x）=3ax²+c，
∴

2=8a+2c 9=12a+c

，
∴a=1，c=-3
∴f（x）=x³-3x（6分）
（2）設g（x）=f（x）+m，即g（x）=x³-3x+m，g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
當x變化時，g'（x）變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以g'（x）的極大值2+m，極小值-2+m
要y=f（x）+m與x軸只有一個交點，只需-2+m＞0或2+m＜0
故當m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時，y=f（x）+m與x軸只有一個交點（13分）．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉化思想．