Question

“對任意的正整數(shù)n，不等式nlga＜（n+1）lga^a（a＞0）都成立”的一個充分不必要條件是（　　）

• A、0＜a＜1
• B、0＜a＜

  1

  2

• C、0＜a＜2
• D、0＜a＜

  1

  2

  或a＞1

Answer 1

分析：原不等式等價于a（n+1）lga-nlga＞0，當(dāng)a＞1時lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，當(dāng)0＜a＜1時lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），由此知所以0＜a＜

1

2

，是原不等式成立的充分不必要條件．

解答：解：原不等式等價于a（n+1）lga-nlga＞0，
當(dāng)a＞1時lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，
當(dāng)0＜a＜1時lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，
只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），
由

n

n+1

=1-

1

n+1

，知

n

n+1

最小值為

1

2

，
所以0＜a＜

1

2

，
所以0＜a＜

1

2

或a＞1是原不等式成立的充要條件
0＜a＜

1

2

是原不等式成立的充分不必要條件．
故選B．

點評：本題考查充分條件、必要條件和充要條件的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，注意不等式的合理運用．