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已知向量 $數學公式$ ， $數學公式$
（1）求 $數學公式$ 的最大值．
（2）若不等式 $數學公式$ 對 $數學公式$ 恒成立，求實數λ的取值范圍．

解：（1） $\text{[math]}$ =cos $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ -sin $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ =cos2x=2cos²x-1，
| $\text{[math]}$ |²= $\text{[math]}$ ²+2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ²=1+2cos2x+1=2+2（2cos²x-1）=4cos²x， $\text{[math]}$ ，cosx＞0，
| $\text{[math]}$ |=2cosx．
$\text{[math]}$ =cosx- $\text{[math]}$ ，令t=cosx，則y=t- $\text{[math]}$ ，在t∈[ $\text{[math]}$ ，1]上是增函數，當t=1時，y取得最大值 $\text{[math]}$ ．
（2）若不等式 $\text{[math]}$ 即為
λcos2x-cosx+λ-1≤0．λ（1+cos2x）≤1+cosx，， $\text{[math]}$ ，1+cos2x＞0，
∴λ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．令t=cosx，則g（t）= $\text{[math]}$ ，g′（t）=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0，
∴g（t）在t∈[ $\text{[math]}$ ，1]上是減函數，當t=1時，取得最小值1，所以λ≤1．
分析：（1）利用三角函數公式、向量的坐標運算得出 $\text{[math]}$ =cosx- $\text{[math]}$ ，再令t=cosx，則y=t- $\text{[math]}$ ，利用單調性求出最大值即可．
（2）將原不等式化成λ（1+cos2x）≤1+cosx，將參數λ分離，得出λ≤ $\text{[math]}$ ．同樣地利用換元法求出右邊最小值，λ小于等于最小值即可．
點評：本題考查向量的運算，三角函數公式的應用，函數的性質，不等式恒成立問題，考查換元法、分離參數法、利用導數求函數最值．

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