Question

A、B、C三城市分別有某種機器10臺、10臺、8臺，支援D市18臺、E市10臺.從A市調一臺機器到D、E兩市的運費分別為200元和800元；從B市調一臺機器到D、E兩市的運費分別為300元和700元；從C市調一臺機器到D、E兩市的運費分別為400元和500元.

（1）若從A、B兩市各調x臺到D市，當三市28臺機器全部調運完畢后，求總運費P（x）關于x的函數表達式，并求P（x）的最大值和最小值；

（2）若從A市調x臺到D市，從B市調y臺到D市，當28臺機器全部調運完畢后，用x、y表示總運費P，并求P的最大值和最小值.

Answer 1

（1）P(x)_max=P(5)=13 200元,P（x）_min=P（9）=10 000元（2）當x=10,y=8時，P_min=9 800;當x=0,y=10時，P_max=14 200.

解析:

（1）機器調運方案如下表：

方	A	B	C	需量
D	200x	300x	400(18-2x)	18
E	800(10-x)	700(10-x)	500（2x-10）	10
供量	10	10	8

總運費P（x）=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=17 200-800x，

又由0≤x≤10,0≤18-2x≤8,得定義域5≤x≤9，

所以P(x)_max=P(5)=13 200(元）,P（x）_min=P（9）=10 000（元），

（2）機器調運方案如下表：

方	A	B	C	需量
D	200x	300y	400(18-x-y)	18
E	800(10-x)	700(10-y)	500（x+y-10）	10
供量	10	10	8

總運費P=200x+300y+400（18-x-y）+800（10-x）+700（10-y）+500（x+y-10）=17 200-100（5x+3y），  其中0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18-x-y≤8.

在xOy平面內作出上述不等式的可行域（如圖中陰影部分）.其中l₁:x+y=18,l₂:x+y=10. 可見，當x=10,y=8時，P_min=9 800;當x=0,y=10時，P_max=14 200.