Question

20、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點．
（1）求證：CD∥面PAB；
（2）求異面直線EF與CD所成角；
（3）在AD上是否存在點Q，使QF⊥面PBC，給出理由或證明．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質，我們可得CD∥AB，結合線面平行的判定定理可得CD∥面PAB；
（2）由（1）中CD∥AB，結合PD⊥底面ABCD，我們易證明CD⊥面PAD，即CD⊥PA，由E、F分別是AB、PB的中點，結合三角形中位線定理，得EF∥PA，進而得到異面直線EF與CD所成角；
（3）取PC中點K，AD的中點Q，連DK，FK，易證DK⊥面PBC，結合QF∥DK，即可得到QF⊥面PBC．

解答：解：（1）∵CD∥AB，AB?面PAB，CD?面PAB，
∴CD∥面PAB    （4分）
（2）∵CD∥AB，CD⊥PD
∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥PA，又EF∥PA
∴EF與CD所成角為90°（8分）
（3）當Q是AD中點時，有QF⊥面PBC．
取PC中點K，連DK，FK，則DK⊥面PBC．
又FK∥AD，FK=AD，
∴QF∥DK
∴QF⊥面PBC（12分）

點評：本題考查的知識瞇是異面直線及其所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，（3）中是探索使結論成立的充分條件，只要證明當Q為AD中點時，滿足題意即可．