Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若雙曲線上存在一點(diǎn)P使

sinPF1F2

sinPF2F1

=

a

c

，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：不防設(shè)點(diǎn)P（x_o，y_o）在右支曲線上并注意到x_o≥a．利用正弦定理求得

sinPF1F2

sinPF2F1

=

PF 2

PF 1

，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義表示出|PF₁|和|PF₂|代入

PF 2

PF 1

=

a

c

求得e的范圍．

解答：解：不防設(shè)點(diǎn)P（x_o，y_o）在右支曲線上并注意到x_o≥a．由正弦定理有

sinPF1F2

sinPF2F1

=

PF 2

PF 1

，
由雙曲線第二定義得：|PF₁|=a+ex_o，|PF₂|=ex_o-a，
則有

exo-a

a+exo

=

a

c

，得x_o=

a(a+c)

ec-ea

＞a，
分子分母同時(shí)除以a²，易得：

1+e

e2-e

＞1，
解得1＜e＜

2

+1
故答案為（1，

2

+1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力．