Question

已知圓O：x²+y²=1（點O為坐標原點），一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切，并與橢圓

x2

2

+y2=1交于不同的兩點A、B．
（1）設b=f（x），求f（k）的表達式；
（2）若

OA

•

OB

=

2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用圓心到直線的距離為半徑1求得k和b的關系式，同時把直線與橢圓方程聯立消去y根據判別式大于或等于0求得k的范圍，綜合可得f（k）的表達式；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據（1）可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而可求得

OA

•

OB

，最后根據

k2+1

2k2+1

=

2

3

•k2=1.求得k，進而求得b，則直線l的方程可得．

解答：解：（1）y=kx+b（b＞0）與x²+y²=1相切，則

|b|

1+k2

=1，
即b²=k²+1，∵b＞0，∴b=

k2+1

.
由

y=kx+b x2 2 +y2=1

消去y，
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
∵l與橢圓交于不同的兩點，
∴△=16k²b²-4（2k²+1）（2b²-2）=8k²＞0，k≠0．
∴b=

k2+1

(k≠0)
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=+x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=(1+k2)

2k2+1

2b2-2

+kx

2k2+1

-4kb

+b2=

k2+1

2k2+1

OA

•

OB

=

2

3

，
∴

k2+1

2k2+1

=

2

3

•k2=1.
所以b²=2，∵b＞0，∴b=

2

，
∴l：y=x+

2

或y=-x+

2

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．一般是把直線方程與圓錐曲線方程聯立消元，根據韋達定理來解決．