Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

n

3

，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

n

3

?當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=

n-1

3

，兩式作差求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（2）由（1）的結(jié)論可知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．再用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：解：（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

n

3

，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=

n-1

3

．②
①-②，得3^n-1a_n=

1

3

，an=

1

3n

（n≥2），
在①中，令n=1，
得a1=

1

3

．∴an=

1

3n

．
（2）∵bn=

n

an

，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④
④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），
即2S_n=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

．
∴Sn=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題的第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．