Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為

2

的正方形，E為PC的中點，PB=PD．
平面PBD⊥平面ABCD．
（1）證明：PA∥平面EDB．
（2）求三棱錐E-BCD與三棱錐P-ABD的體積比．

Answer 1

分析：（1）連A、C交BD于O，則OE是△PAC的中位線，可得OE∥PA，從而證明PA∥平面DEB．
（2）E到平面ABCD的距離是P到平面ABCD的距離的一半，△BCD與△ABD的面積相等，故體積之比等于

1

2

．

解答：解：
（1）證明：連A、C交BD于O，連O、E，因為底面是正方形，所以，O是AC的中點，
又因為E是PC的中點，所以OE是△PAC的中位線，所以，OE∥PA，
又因為OE?平面DEB，PA?平面DEB，所以PA∥平面DEB．
（2）因為E是PC的中點，所以，E到平面ABCD的距離是P到平面ABCD的距離的一半，△BCD與△ABD的面積相等，
所以，

VE-BCD

VP-ABD

=

1

2

．

點評：本題考查證明線面平行的方法，求三棱錐的體積，證明OE是△PAC的中位線，是解題的關鍵．