Question

【題目】已知平面直角坐標系xOy中，過點P（﹣1，﹣2）的直線l的參數方程為 （t為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsinθtanθ=2a（a＞0），直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若|PM|=|MN|，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線l的參數方程為 （t為參數），

∴直線l的普通方程：x﹣y﹣1=0，

∵曲線C的極坐標方程為 ρsinθtanθ=2a（a＞0），

∴ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），

∴曲線C的普通方程：y2=2ax

（2）解：∵y2=2ax；

∴x≥0，

設直線l上點M、N對應的參數分別為t1，t2，（t1＞0，t2＞0），

則|PM|=t1，|PN|=t2，

∵|PM|=|MN|，

∴|PM|= |PN|，

∴t2=2t1，

將 （t為參數），代入y2=2ax得

t2﹣2 （a+2）t+4（a+2）=0，

∴t1+t2=2 （a+2），

t1t2=4（a+2），

∵t2=2t1，

∴a=

【解析】（1）利用同角的平方關系以及極坐標方程和直角坐標的互化公式求解；（2）結合直線的參數方程中參數的幾何意義和二次方程的韋達定理，求解即可．