Question

已知、分別是橢圓C:的左焦點和右焦點,O是坐標系原點, 且橢圓C的焦距為6, 過的弦兩端點與所成⊿的周長是.
（Ⅰ）.求橢圓C的標準方程.
（Ⅱ）已知點，是橢圓C上不同的兩點，線段的中點為.
求直線的方程；
（Ⅲ）若線段的垂直平分線與橢圓C交于點、，試問四點、、、是否在同一個圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ） 解:設橢圓C:的焦距為2c,
∵橢圓C:的焦距為2,  ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵、分別是橢圓C:的左焦點和右焦點,且過的弦AB兩端點A、B與所成⊿AB的周長是.
∴⊿AB的周長 = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=
∴                                           …………2分
又∵, ∴∴橢圓C的方程是…………4分
（Ⅱ）解一：點，是橢圓C上不同的兩點，
∴，.以上兩式相減得：，                             
即，，
∵線段的中點為，∴.                                                           
∴，
當，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，
∴. ∴直線的方程為，即.                    
由 消去，得，解得或.
∴所求直線的方程為.    ………………8分
解二: 當直線的不存在時, 的中點在軸上, 不符合題意.
故可設直線的方程為, .           
由 消去，得   (*)
.              的中點為,
..解得.                                                           
此時方程(*)為,其判別式.∴直線的方程為.                                     
（Ⅲ）由于直線的方程為，
則線段的垂直平分線的方程為，即.        
由 得，                               
由消去得，設
則.
∴線段的中點G的橫坐標為，縱坐標.
∴.                                             
∴.
∵，
，                    
∴四點、、、在同一個圓上，此圓的圓心為點G，半徑為，
其方程為.         …………14分   

略