Question

（本小題滿分12分）已知函數（）．
（1）試討論在區間上的單調性；
（2）當時，曲線上總存在相異兩點，，使得曲線在點，處的切線互相平行，求證：.

Answer 1

（1）在上單調遞減，在上單調遞增． （2）證明：見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數的運用。
（1）由已知，，根據導數的符號判定函數單調性，得到結論。
（2）因為由題意可得，當時，（，且）.
即  ，
所以，.，借助于不等式來證明。
（1）由已知，.
由，得，.  因為，所以,且．
所以在區間上，；在區間上，.
故在上單調遞減，在上單調遞增．            ……………6分
（2）證明：由題意可得，當時，（，且）.
即  ，
所以，.     ………8分
因為，且，所以恒成立，
所以，又，
所以，整理得.         
令，因為，所以在上單調遞減，
所以在上的最大值為， 所以.…………12分