Question

【題目】求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)以(0,5)和(0，－5)為焦點，且橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26；

(2)以橢圓9x2＋5y2＝45的焦點為焦點，且經過M(2， )．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由焦點坐標可以求得c，再由橢圓定義可知2a，即得橢圓方程；

（2）根據題意先求得焦點坐標，再設方程為所求橢圓的標準方程為 (a＞b＞0)，將題中點代入，根據b2＝a2－c2可得橢圓方程.

試題解析：

(1)∵橢圓的焦點在y軸上，

∴設它的標準方程為＋＝1(a>b>0)．

∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.

∴b2＝a2－c2＝144.

∴所求橢圓的標準方程為＋＝1.

(2)法一：由9x2＋5y2＝45，

得＋＝1，c2＝9－5＝4，

所以其焦點坐標為F1(0,2)，F2(0，－2)．

設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．

由點M(2，)在橢圓上，所以MF1＋MF2＝2a，

即2a＝＋＝4，

所以a＝2，

又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，

所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.

法二：由法一知，橢圓9x2＋5y2＝45的焦點坐標為F1(0,2)，F2(0，－2)，

則設所求橢圓方程為＋＝1(λ＞0)，

將M(2，)代入，得＋＝1(λ＞0)，

解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．

所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.