Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，是線段上一點(diǎn)．

（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．

（2）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為．證明見解析

【解析】

以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）求出平面BDE的法向量，直線AC的方向向量，求出向量夾角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值；（2）先假設(shè)結(jié)論成立，分別求出平面平面的法向量，由平面平面可知兩法向量的數(shù)量積為0，即可求解點(diǎn)E的位置.

解：不妨設(shè)，在平面中作，以，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以，，．

設(shè)是平面的法向量，則

即

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為．

所以，

所以直線與平面所成的角的正弦值為．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面平面，設(shè)．

顯然，．

設(shè)是平面的法向量，則即

取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為．

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以，．

設(shè)是平面的法向量，則即

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為．

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，即，，解得．

所以的值為2，即當(dāng)時(shí)，平面平面．