Question

【題目】

如圖所示的空間幾何體，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為.且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上．

（1）求證：DE//平面ABC；

（2）求二面角E—BC—A的余弦；

（3）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）證明線面平行，需要證明直線平行面內的一條直線即可．
（2）利用三垂線定理作出二面角的平面角即可求解．
（3）求多面體ABCDE的體積，轉化兩個三棱錐的體積之和，分別求解

(1)由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，

取AC中點O，連接BO，DO，

則BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC

∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根據題意，點F落在BO上，

∴∠EBF=60,易求得EF=DO=

所以四邊形DEFO是平行四邊形,DE∥OF;∵DE平面ABC,OF平面ABC,∴DE∥平面ABC

(2)

作FG⊥BC,垂足為G,連接EG;

∵EF⊥平面ABC，根據三垂線定理可知，EG⊥BC，

∴∠EGF就是二面角EBCA的平面角，

，

即二面角EBCA的余弦值為.

(3)∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；

又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，

∴三棱錐EDAC的體積

又三棱錐EABC的體積，

∴多面體DEABC的體積為.