Question

某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創業，在一個開學季內，每售出1盒該產品獲利潤50元，未售出的產品，每盒虧損30元．根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如下圖所示．該同學為這個開學季購進了160盒該產品，以X（單位：盒，100≤X≤200）表示這個開學季內的市場需求量，Y（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤．
（1）根據直方圖估計這個開學季內市場需求量X的平均數和眾數；
（2）將Y表示為X的函數；
（3）根據直方圖估計利潤不少于4800元的概率．

Answer 1

（1）153,150（2）y=,（3）0.9

解析試題分析：（1）以各組的中間值為各組需求量的代表值，計算出各組的頻率為概率，頻率最大對應的需求量即為需求量的眾數，各組代表需求量與對應的頻率的和就是需求量的平均數；（2）由已知條件推導出當100≤x≤160時，y=50x-（160-x）•30=80x-1800，當160＜x≤200時，y=160×50=8000，由此能將Y表示為X的函數，（3）根據（2）中利潤與需求量的關系式，令y大于等于4800，列出關于需求量的不等式，求出需求量x的取值范圍，再根據題中的頻率分布表計算出對應的概率.
試題解析：（1）由頻率直方圖得到：
需求量為110的頻率=0.005×20=0.1，
需求量為130的頻率=0.01×20=0.2，
需求量為150的頻率=0.015×20=0.3，
需求量為170的頻率=0.0125×20=0.25，
需求量為190的頻率=0.0075×20=0.15，
∴這個開學季內市場需求量X的眾數是150，
這個開學季內市場需求量X的平均數：     
=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．         4分
（2）∵每售出1盒該產品獲利潤50元，未售出的產品，每盒虧損30元，
∴當100≤x≤160時，
y=50x-（160-x）•30=80x-1800，
當160＜x≤200時，
y=160×50=8000，
∴y=                      8分
（3）∵利潤不少于4800元，
∴80x-4800≥4800，解得x≥120，
∴由（1）知利潤不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．        12分
考點:離散型隨機變量的期望與方差，頻率分布直方圖應用，眾數、中位數、平均數，分段函數函數解析式，概率的估計