Question

已知二次函數f（x）滿足：f（1-x）=f（x+1），f（0）=2，f（1）=1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）設f（x）解析式為y=ax²+bx+c，由f（1-x）=f（x+1）可得-

b

2a

=1，又f（0）=2，f（1）=1，即可得一個方程組進而得到答案．
（Ⅱ）由（I）可得：y=x²-2x+2=（x-1）²+1，再結合二次函數的性質可得答案．

解答：解：（I）設f（x）解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）…（2分）
∵f（1-x）=f（x+1）
∴f（x）對稱軸為x=1，即-

b

2a

=1…①…（4分）
又f（0）=2，f（1）=1
∴

c=2 a+b+c=1

…②…（6分）
所以聯立①②，得a=1，b=-2，c=2…（8分）
所以f（x）解析式為：y=x²-2x+2…（9分）
（Ⅱ）由（I）可得：y=x²-2x+2=（x-1）²+1
所以結合二次函數的性質可得：f（x）單調增區間為（1，+∞）；…（11分）
并且f（x）單調減區間為（-∞，1）；…（13分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用待定系數法求函數解析式，以及熟練掌握二次函數的性質與函數圖象，此題屬于基礎題．