Question

【題目】已知函數，其中， 為自然對數的底數．

（1）設是函數的導函數，求函數在區間上的最小值；

（2）若，函數在區間內有零點，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由題意知． ．

由于， ,根據兩個區間關系，分， ， 三種情況討論。（2）由， 在區間內有零點，設為在區間內的一個零點，則由可知， 在區間上不可能單調遞增，也不可能單調遞減．由（1）知．， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．因此， ， ， ．解得．

試題解析：（Ⅰ）由，有．

所以．

因此，當時， ．

當時， ，所以在上單調遞增，

因此在上的最小值是；

當時， ，所以在上單調遞減，

因此在上的最小值是；

當時，令，得．

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

于是在上的最小值是．

綜上所述，

當時， 在上的最小值是；

當時， 在上的最小值是；

當時， 在上的最小值是．

（Ⅱ）設為在區間內的一個零點，則由可知，

在區間上不可能單調遞增，也不可能單調遞減．

則不可能恒為正，也不可能恒為負．

故在區間內存在零點．

同理在區間內存在零點．

所以在區間內至少有兩個零點．

由（Ⅰ）知，當時， 在上單調遞增，故在內至多有一個零點．

當時， 在上單調遞減，故在內至多有一個零點．

所以．

此時， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

因此， ，必有

， ．

由有，

由， ．

解得．

所以，函數在區間內有零點時， ．