Question

【題目】已知函數f（x）=1﹣ ﹣lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的圖象在點（ ，f（ ））處的切線方程；
（2）當a≥0時，記函數Γ（x）= ax2+（1﹣2a）x+ ﹣1+f（x），試求Γ（x）的單調遞減區間；
（3）設函數h（a）=3λa﹣2a2（其中λ為常數），若函數f（x）在區間（0，2）上不存在極值，求h（a）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時， ， ，

則 ， ∴函數f（x）的圖象在點 的切線方程為： ，

即2x﹣y+ln2﹣2=0．

（2）解：∵ ，∴ （x＞0）， ，

①當a=0時， ，

由 及x＞0可得：0＜x≤1，∴Γ（x）的單調遞減區間為（0，1]

②當a＞0時， ，

由ax2﹣（2a﹣1）x﹣1=0可得：△=（2a﹣1）2+4a=4a2+1＞0，

設其兩根為x1，x2，因為 ，所以x1，x2一正一負，

設其正根為x2，則 ，

由 及x＞0可得： ，∴Γ（x）的單調遞減區間為 ．

（3）解： ，由f'（x）=0x=a，

由于函數f（x）在區間（0，2）上不存在極值，所以a≤0或a≥2…（10分）對于h（a）=3λa﹣2a2，對稱軸 ，

當 或 ，即λ≤0或 時， ；

當 ，即 時，h（a）max=h（0）=0；

當 ，即 時，h（a）max=h（2）=6λ﹣8；

綜上可知：

【解析】（1）當a=1時，化簡函數的解析式求出函數的導數，求出斜率以及切點坐標，求解切線方程．（2）化簡函數Γ（x）= ﹣1+f（x）的解析式，求出函數的導數，通過①當a=0時，②當a＞0時，分別通過函數的極值點，判斷函數的單調性．求出單調區間．（3）通過函數的導數為0，求出極值點，利用題意轉化為函數f（x）在區間（0，2）上不存在極值，求出a的范圍然后求解h（a）max值即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．