Question

（2012•重慶）設f(x)=alnx+

1

2x

+

3

2

x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，可得f′（1）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f(x)=-lnx+

1

2x

+

3

2

x+1（x＞0），f′(x)=

-1

x

-

1

2x2

+

3

2

=

(3x+1)(x-1)

2x2

，確定函數的單調性，即可求得函數f（x）的極值．

解答：解：（Ⅰ） 求導函數可得f′(x)=

a

x

-

1

2x2

+

3

2

∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
∴f′（1）=0，∴a-

1

2

+

3

2

=0，
∴a=-1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f(x)=-lnx+

1

2x

+

3

2

x+1（x＞0）
f′(x)=

-1

x

-

1

2x2

+

3

2

=

(3x+1)(x-1)

2x2

令f′（x）=0，可得x=1或x=-

1

3

（舍去）
∵0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數遞減；x＞1時，f′（x）＞0，函數遞增
∴x=1時，函數f（x）取得極小值為3．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，函數的單調性與極值，正確求導是關鍵．