Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M為PD中點．
（Ⅰ） 求證：MC∥平面PAB；
（Ⅱ）在棱PD上找一點Q，使二面角Q﹣AC﹣D的正切值為．

Answer 1

解：（1）取PA的中點E，連接BE、EM，
則EM與BC平行且相等，
∴四邊形BCME是平行四邊形．
∴MC∥BE，
又MC面PAB，BE面PAB，
∴MC∥平面PAB
（2）如圖過Q作QF∥PA交AD于F，
∴QF⊥平面ABCD．
作FH⊥AC，H為垂足．
連接QH
∴∠QHF是二面角Q﹣AC﹣D的平面角．
設AF=x，
∴AH=FH=x，
FD=2﹣x．
又=，
∴QF=，
在Rt△QFH中，tan∠QHF===，
∴x=1．當Q為棱PD中點時，二面角Q﹣AC﹣D的正切值為．