Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且∠ADC=arcsin

5

5

，又PA⊥平面ABCD，AD=3AB=3PA=3a，
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）在底面ABCD內，過A作AE⊥CD，垂足為E，連接PE，易得∠PEA是二面角P-CD-A的平面角，在Rt△PAE中求出此角的正切值；
（2）在平面APB中，過A作AH⊥PB，垂足為H，可證得AH的長即為點A到平面PBC的距離，在等腰直角三角形PAB中解出AH即可．

解答：解：（1）在底面ABCD內，過A作AE⊥CD，垂足為E，連接PE，
∵PA⊥平面ABCD，易證PE⊥CD，
∵∠PEA是二面角P-CD-A的平面角，
在Rt△AED中，AD=3a，∠ADE=arcsin

5

5

，
∴AE=AD•sin∠ADE=

3 5

5

a，
在Rt△PAE中，tan∠PEA=

PA

AE

=

5

3

，
∴二面角P-CD-A的正切值為

5

3

；

（II）在平面APB中，過A作AH⊥PB，垂足為H
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB，
∴AH⊥平面PBC，
故AH的長即為點A到平面PBC的距離，
在等腰直角三角形PAB中，AH=

2

2

a，
所以點A到平面PBC的距離為

2

2

a．

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．