Question

【題目】如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，上、下底面的面積之比為1：4，側面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A=A1B1，∠AA1B=90°．

（1）平面A1C1B∩平面ABC=l，證明：A1C1∥l；

（2）求四棱錐B-A1ACC1的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）三棱臺中上底面與下底面是平行的，即平面A1B1C1∥平面ABC，再由面面平行的性質定理可以得到；

（2） 取AB中點O，連接CO，則CO⊥AB，由面面垂直的性質可得CO⊥平面A1ABB1，由已知求得上底面邊長，然后利用等積法求四棱錐B-A1ACC1的體積．

（1）證明：如圖，∵平面A1B1C1∥平面ABC，

且平面A1C1B∩平面ABC=l，A1C1B∩平面A1B1C1=A1C1，

∴A1C1∥l；

（2）解：∵底面ABC是等邊三角形，取AB中點O，

連接CO，則CO⊥AB，

∵面A1ABB1⊥底面ABC，且面A1ABB1∩底面ABC=AB，

∴CO⊥平面A1ABB1，連接A1C，

在三棱臺ABC-A1B1C1中，

∵上、下底面的面積之比為1：4，∴AB=2A1B1，

由AB=2，得CO=，A1B1=1，則A1A=A1B1=1，

又∠AA1B=90°，∴，

則，

∴=；

由AC=2A1C1，得，

∴，

∴四棱錐B-A1ACC1的體積．