Question

（請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選做題）若不等式|x+1|+|x-2|≥a對任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是

 

．
B．（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE=

 

．

C．（坐標系與參數方程選做題）直角坐標系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標系，設點A，B分別在曲線C₁：

x=3+cosθ y=sinθ

 （θ為參數）和曲線C₂：p=1上，則|AB|的最小值為

 

．

Answer 1

分析：A．首先分析題目已知不等式|x+1|+|x-2|≥a恒成立，求a的取值范圍，即需要a小于等于|x+1|+|x-2|的最小值即可．對于求|x+1|+|x-2|的最小值，可以分析它幾何意義：在數軸上點x到點-1的距離加上點x到點2的距離．分析得當x在-1和2之間的時候，取最小值，即可得到答案；
B．先證明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根據相似建立等式關系，求出所求即可；
C．先根據ρ²=x²+y²，sin²+cos²θ=1將極坐標方程和參數方程化成直角坐標方程，根據當兩點連線經過兩圓心時|AB|的最小，從而最小值為兩圓心距離減去兩半徑．

解答：解：A．已知不等式|x+1|+|x-2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x-2|的最小值即可．
故設函數y=|x+1|+|x-2|． 設-1、2、x在數軸上所對應的點分別是A、B、P．
則函數y=|x+1|+|x-2|的含義是P到A的距離與P到B的距離的和．
可以分析到當P在A和B的中間的時候，距離和為線段AB的長度，此時最小．
即：y=|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x-2|的最小值為3．
即：k≤3．
故答案為：（-∞，3]．
B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°
∴Rt△ABE∽Rt△ADC
而AB=6，AC=4，AD=12，
根據AD•AE=AB•AC解得：AE=2，
故答案為：2
C． 

x=3+cosθ y=sinθ

  消去參數θ得，（x-3）²+y²=1
而p=1，則直角坐標方程為x²+y²=1，點A在圓（x-3）²+y²=1上，點B在圓x²+y²=1上
則|AB|的最小值為1．
故答案為：1

點評：A題主要考查不等式恒成立的問題，其中涉及到絕對值不等式求最值的問題，對于y=|x-a|+|x-b|類型的函數可以用分析幾何意義的方法求最值．本題還考查了三角形相似和圓的參數方程等有關知識，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于基礎題．