Question

某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2008年北京奧運會期間進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足關系式：x=3-

2

t+1

．已知2008年生產化妝品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件化妝品需要投入32萬元的生產費用，若化妝品的年銷售收入額為其年生產成本的150%與年促銷費的一半之和．問：該企業2008年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤y（萬元）最大？（利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）

Answer 1

分析：根據年生產成本=年生產費用+年固定費用，年利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，可得年利潤的函數，利用基本不等式可求函數的最值．

解答：解：當年生產x（萬件）時，年生產成本=年生產費用+年固定費用=32x+3=32（3-

2

t+1

）+3，
年銷售收入=150%[32（3-

2

t+1

）+3]+

t

2

．
∵年利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，
∴y=150%[32（3-）+3]+-[32（3-）+3]-t=

1

2

[32（3-

2

t+1

）+3]-

t

2

=50-

1

2

[

64

t+1

+（t+1）]≤50-

1

2

•2

64 t+1 •(t+1)

=42（萬元），
當且僅當

64

t+1

=t+1，即t=7時y_max=42．
∴當促銷費定在7萬元時，利潤最大．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，確定函數的解析式是關鍵．