Question

某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2007年度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3-x=

k

t+1

（t≥0，k≠0且k為常數），如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件．已知2007年生產化妝品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件化妝品需再投入32萬元的生產費用．若將每件化妝品的售價定為：平均每件促銷費的一半與每件生產成本的150%之和，則當年生產的化妝品正好能銷完．
（注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）
（1）求常數k的值；
（2）將2007年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數；
（3）該企業2007年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據題意，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3-x=

k

t+1

，根據當t=0時，x=1，求出k的值．
（2）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數．
（3）根據已知代入（2）的函數，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大．

解答：解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，
且當t=0時，x=1．
所以k=2，即 x=

3t+1

t+1

．
（2）由（1）知x=3-

2

t+1

，
當年生產x（萬件）時，年生產成本=年生產費用+固定費用=32x+3，
當銷售x（萬件）時，年銷售收入=150%(32x+3)+

1

2

t．
由題意，生產x萬件化妝品正好銷完．
∵年利潤=年銷售收入-年生產成本-促銷費，
∴y=150%(32x+3)+

1

2

t-(32x+3)-t=

1

2

(32x+3)-

1

2

t．
∴y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)（t≥0）．（8分）
（3）y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)≤50-2

16

=42萬，
當且僅當

t+1

2

=

32

t+1

時取等號，此時t=7．
∴當促銷費定在7萬元時，利潤最大為42萬．（14分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，看出基本不等式在求最值中的應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調對知識的理解和熟練運用，屬于中檔題．