Question

（選修4-5：不等式選講）
已知正數(shù)x，y，z滿足x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的最大值；
（Ⅱ）若不等式|a-3|≥x+2y+2z對(duì)一切正數(shù)x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析題目已知x²+y²+z²=1，求x+2y+3z的最大值．考慮到應(yīng)用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先構(gòu)造出柯西不等式求出（x+2y+2z）²的最大值，開平方根即可得到答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a-3|≥x+2y+2z對(duì)一切正數(shù)x，y，z恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)|a-3|≥3成立，

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)橐阎獂²+y²+z²=1根據(jù)柯西不等式：
（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）構(gòu)造得：
（x+2y+2z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+2²）≤1×9=9
故x+2y+2z≤

9

=3．當(dāng)且僅當(dāng)x=

y

2

=

z

2

時(shí)取等號(hào)．
則當(dāng)x=

1

3

，y=z=

2

3

時(shí)x+2y+2z的最大值是3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a-3|≥x+2y+2z對(duì)一切正數(shù)x，y，z恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)|a-3|≥3成立，
即

a＜3 3-a≥3

或

a≥3 a-3≥3

，解得a≤0，或a≥6，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查基本不等式的應(yīng)用、配湊法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．