Question

已知二次函數f（x）=-3x²+2bx+c的圖象經過原點，其對稱軸方程為x=2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[2，3]時，求函數g（x）=f（x）-6（m+2）x-9的最大值h（m）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數的圖象經過原點，得c的值，根據圖象對稱軸是直線x=2，求出b值，從而得出解析式即可．
（2）根據二次函數的圖象和性質，分別討論函數的對稱軸與區間[2，3]的關系，即可求出函數f（x）在[2，3]上的最大值h（m）的表達式；
解答：解：（1）二次函數f（x）=-3x²+2bx+c的圖象經過原點，則c=0，
又∵二次函數的圖象對稱軸是直線x=2，，
∴二次函數解析式為：y=-3x²+12x．
（2）g（x）=f（x）-6（m+2）x-9=-3x²-6mx-9，x∈[2，3]．
配方得，g（x）=-3（x+m）²+3m²-9，
∵m∈[-3，+∞），∴-m∈（-∞，3]
①當-m＜2時，m＞-2時，h（m）=g（2）=-12m-21；
②當2≤-m≤3時，-3≤m≤-2時，h（m）=g（-m）=3m²-9．
③當-m＞3時，m＜-3時，h（m）=g（3）=-36-18m．
綜上，h（m）=．
點評：本題考查的是用待定系數法求二次函數的解析式，考查二次函數在閉區間上的最值，函數單調性的性質，二次函數的圖象和性質，其中在解答含有參數的二次函數問題時，判斷對稱軸與給定區間的范圍，以此為分類標準對參數進行分類討論，是解答的關鍵．