Question

如圖，在△ABC中，AB=

2

3

AC，D、E分別為邊AB、AC的中點，CD與BE相交于點P，
（1）若AB=2，四邊形ADPE的面積記為S（A），試用角A表示出S（A），并求S的最大值；
（2）若

BE

CD

＜t恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用重心的性質和等底或等高的三角形的面積的比及三角函數的單調性即可得出；
（2）利用余弦定理和三角函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）∵點P是△ABC的重心，
∴S=S_△APD+S_△AEP=

1

3

S△ABC=

1

6

AB•AC•sinA=

1

6

×2×3×sinA=sinA．
當A=

π

2

時，S取得最大值1．
（2）設AB=2x，AC=3x，

BE2

CD2

=

4x2+ 9x2 4 -2×2x× 3x 2 cosA

9x2+x2-2×x×3x×cosA

=

25-24cosA

40-24cosA

=1-

15

40-24cosA

，
∵A∈（0，π），∴cosA∈（-1，1），可得

1

4

＜

BE

CD

＜

7

8

，
若

BE

CD

＜t恒成立，則t≥

7

8

，
∴t的最小值為

7

8

．

點評：熟練掌握重心的性質、等底或等高的三角形的面積的比、三角函數的單調性、余弦定理是解題的關鍵．