Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+3c的兩個極值點分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則b-3a的取值范圍是（　　）

• A、（3，10）
• B、（-∞，3）∪（10，+∞）
• C、（-6，-1）
• D、（-∞，-6）∪（-1，+∞）

Answer 1

分析：對函數求導，由已知結合二次函數的圖象可得

0＜- a 2 ＜2 f′(0)＞0 f“(1)＜0 f′(2)＞0

，代入可得關于a，b的二元一次不等式組，利用線性規劃的知識，畫出平面區域，在可行域內找到目標函數=-3a+b取得最大值及最小值點．

解答：解：∵f′（x）=x²+ax+2b
由題意可得f′（x）=0的兩根x₁，x₂，
且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）
∴

0＜ - a 2 ＜2 f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，∴

0＜- a 2 ＜2 2b＞0 a+2b+1＜0 2+a+b＞0

，
令Z=-3a+b做出不等式表示的平面區域：
如圖中的△ABC內部區域（不包括邊界）A（-3，1）B（-1，0）C（-2，0）
由線性規劃的知識可得Z=-3a+b，
在A（-3，1） B（-1，0）分別取得最大值10，最小值3，但由于不包括邊界
∴3＜Z＜10
故選A．

點評：本題以函數的極值為切入點，借助于二次函數的圖象及二次方程的實根分布把問題轉化為平面區域內求目標函數的最值問題，是一道綜合性較好的試題，體會“轉化思想”在解題中的應用．