Question

【題目】已知函數f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．
（1）若y=g（x）為曲線y=f（x）的一條切線，求a的值；
（2）已知a＜1，若存在唯一的整數x0 ， 使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

設切點為（m，n），由題意可得a=em（2m+1），

又n=am﹣a=em（2m﹣1），

解方程可得，a=1或4

（2）解：函數f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a

由題意知存在唯一的整數x0使得f（x0）在直線y=ax﹣a的下方，

∵f′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

∴當x＜﹣ 時，f′（x）＜0，

當x＞﹣ 時，f′（x）＞0，

∴當x=﹣ 時，f（x）取最小值﹣2 ，

當x=0時，f（0）=﹣1，當x=1時，f（1）=e＞0，

直線y=ax﹣a恒過定點（1，0）且斜率為a，

故﹣a＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，

解得 ≤a＜1．

【解析】（1）求出導數，設出切點（m，n），求得切線的斜率，由切線的方程，可得a=em（2m+1），又n=am﹣a=em（2m﹣1），解方程可得a的值；（2）函數f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=kx﹣k，問題轉化為存在唯一的整數x0使得f（x0）在直線y=kx﹣k的下方，求導數可得函數的極值，數形結合可得﹣k＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣k﹣k，解關于k的不等式組可得．