Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且acosC＝（2b﹣c）cosA.

（1）若3，求△ABC的面積；

（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（，）.

【解析】

（1）利用正弦定理可求角A，結合數量積3，可求△ABC的面積；

（2）結合角之間的關系，把2cos2B+cos2C化簡為，然后結合角的范圍可求.

（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，

∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，

∵B為三角形內角，sinB≠0，

∴cosA，

又∵A∈（0，π），

∴A，

∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，

∴S△ABCbcsinA.

（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），

∴2B∈（，），

∴cos（2B）∈（，），

∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.

∴2cos2B+cos2C的取值范圍（，）.