Question

【題目】是否存在常數a，b，c，使等式N+都成立，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

令n=1得①， 令n=2得②，

令n=3得③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10，記原式的左邊為Sn，用數學歸納法證明猜想下面用數學歸納法證明：對于一切正整數n，（*）式都成立．

（1）當n＝1時，由上述知，（*）成立．

（2）假設n＝k（k≥1）時，（*）成立，

即122+232+…+k（k+1）2

（3k2+11k+10），

那么當n＝k+1時，

122+232+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2

（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

（3k2+5k+12k+24）

[3（k+1）2+11（k+1）+10]，

由此可知，當n＝k+1時，（*）式也成立．

綜上所述，當a＝3，b＝11，c＝10時題設的等式對于一切正整數n都成立．