Question

對于四面體ABCD，給出下列四個命題：

①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；

④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD.

其中真命題的序號是____________.（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

思路點撥：本題要判斷線線垂直，可以圍繞著線面垂直的相關性質來逐一判定.

解：對于①，取BC的中點E，連結AE、BE.則有BC⊥AE，BC⊥DE，BC⊥平面ADE.又AD平面ADE，所以有BC⊥AD；對于④，過點A向平面BCD作垂線AO,連結BO與CD交于點E，則CD⊥BE.同理,CF⊥BD.所以點O是△BCD的垂心.連結DO，則有BC⊥DO，BC⊥AO，BC⊥AD.故應填①④.

［一通百通］ 要證明（或判定）線線垂直時，通常要根據已知條件先得出線面垂直關系，從而利用線面垂直的性質得到線線垂直.