Question

【題目】如圖所示，某鎮有一塊空地，其中， ， 。當地鎮政府規劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場. 為安全起見，需在的周圍安裝防護網.

（1）當時，求防護網的總長度；

（2）若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍，試確定 的大小；

（3）為節省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使 的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）防護網的總長度為（2）

【解析】試題分析:(1)首先根據直角三角形中,得到,結合,由余弦定理可求得的值,利用勾股定理證得,由此證得三角形為等邊三角形,從而求出周長.(2) 設,根據的面積是堆假山用地的面積的倍列方程,求得的值,在中利用正弦定理求得值,兩個值相等,由此求得的值.(3) 在中，利用正弦定理求得的值,利用三角形面積公式寫出面積的表達式,并利用三角函數值域來求面積的最小值.

試題解析:

（1）在中， ， ， ， ，

在中， ，

由余弦定理，得，

，即， ，

為正三角形，所以的周長為，

即防護網的總長度為.

（2）設， ，

，即，

在中，由，得，

從而，即，由，

得， ，即 .

（3）設，由（2）知，

又在中，由，得，

，

當且僅當，即時，

的面積取最小值為 .