Question

【題目】對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0 ， 則稱x0是f（x）的一個不動點．
（1）若函數f（x）=2x+ ﹣5，求此函數的不動點；
（2）若二次函數f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有兩個不同的不動點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=2x+ ﹣5，

由f（x）=x，即x+ ﹣5=0，

即為x2﹣5x+4=0，解得x=1和4，

則此函數的不動點為1，4

（2）解：二次函數f（x）=ax2﹣x+3在x∈（1，+∞）上有兩個不同的不動點，

即為ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個不等的實根，

當a＞0時，△=4﹣12a＞0，且a﹣2+3＞0， ＞0，解得0＜a＜ ；

當a＜0，由于對稱軸x= ＜0，在x∈（1，+∞）上沒有兩個不等的實根，不成立．

綜上可得，0＜a＜ ．

則實數a的取值范圍為（0， ）

【解析】（1）由定義可得f（x）=x，解方程即可得到所求不動點；（2）由題意可得ax2﹣2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個不等的實根，討論a＞0或a＜0和判別式大于0，對稱軸介于x=1的右邊，x=1的函數值大于0，解不等式即可得到所求范圍．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．