Question

某商場因管理不善及場內設施陳舊，致使年底結算虧損，決定從今年開始投入資金進行整，計劃第一個月投入80萬元，以后每月投入將比上月減少

1

5

．第一個月的經營收入約為40萬元，預計以后每個月收入會比上個月增加

1

4

．
（1）設n個月內的總投入為a_n萬元，總收入為b_n萬元，寫出a_n，b_n
（2）問經過幾個月后商場開始扭虧為盈．

Answer 1

分析：（1）根據計劃第一個月投入80萬元，以后每月投入將比上月減少

1

5

，可知投入組成以80 為首項，

4

5

為公比的等比數列；第一個月的經營收入約為40萬元，預計以后每個月收入會比上個月增加

1

4

，可知收入組成以40 為首項，

5

4

為公比的等比數列，從而可求；
（2）根據（1）中的數列，可得bn＞an?400×(1-(

4

5

)n-1)＞160((

5

4

)n-1-1)，從而可解．

解答：解：（1）由題意可得：an=80+80×(

4

5

)+80×(

4

5

)2+…+80×(

4

5

)n-1=80×

1-( 5 4 )n-1

1- 4 5

=400×(1-(

4

5

)n-1)；bn=40+40×(

5

4

)+40×(

5

4

)2+…+40×(

5

4

)n-1=40×

1-( 5 4 )n-1

1- 5 4

=160((

5

4

)n-1-1)
（2）由題意：bn＞an?400×(1-(

4

5

)n-1)＞160((

5

4

)n-1-1)
令(

5

4

)n-1=t，t≥1，上式等價于2(t-1)＞5(1-

1

t

)?2t2-2t＞5t-5?2t2-7t+5＞0?(2t-5)(t-1)＞0?t＞

5

2

或t＜1（舍去），即：(

5

4

)n-1＞

5

2

?(n-1)lg

5

4

＞lg

5

2

?n-1＞

lg 5 2

lg 5 4

=2?n＞3，故從第4年開始扭虧為盈．

點評：本題以實際問題為載體，考查等比數列，考查等比數列的求和公式，考查解不等式，有一定的綜合性．