Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點(diǎn)（3，0）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，命題p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1為假命題，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）若h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是與x無關(guān)的負(fù)數(shù)），判斷函數(shù)h（x）有幾個不同的零點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點(diǎn)（3，0）． ∴f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，聯(lián)立解得：a=﹣6，b=9．
∴f（x）=x3﹣6x2+9x．
（II）命題p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1為假命題，等價于：命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題．∵g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，∴g（x）=﹣x3+3cx．
由命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題，可得|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，解得： ．
又g′（x）=﹣3x2+3c=﹣3 ．可得：函數(shù)g（x）在 ， 內(nèi)為減函數(shù)，在 內(nèi)為增函數(shù)．
∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，且|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，∴只需|g（ ）﹣g（﹣ ）|≤1，則：4c ≤1，解得c≤ ．
綜上可得：c的取值范圍是 ≤c≤ ．
（III）h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是與x無關(guān)的負(fù)數(shù)），∴h（x）=clnx﹣x2 ， （x＞0）．
h′（x）= ﹣2x＜0，因此函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）至多有一個零點(diǎn)．
∵c＜0，∴（c﹣1）2＞1，0＜ ＜1，∴ =（c﹣1）2﹣ ＞0，h（1）=﹣1＜0．
∴函數(shù)h（x）在 內(nèi)有一個零點(diǎn)，因此函數(shù)h（x）在（0，+∞）上恰有一個零點(diǎn)．
【解析】（I）f′（x）=3x2+2ax+b，由于函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于點(diǎn)（3，0）．可得f′（3）=27+6a+b=0，f（3）=27+9a+3b=0，聯(lián)立解得a，b．即可得出．（II）命題p：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|＞1為假命題，等價于：命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題．由g（x）+f（x）=﹣6x2+（3c+9）x，可得g（x）=﹣x3+3cx．由命題：x1 ， x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤1為真命題，可得|g（1）﹣g（﹣1）|≤1，解得c范圍．又g′（x）=﹣3x2+3c=﹣3 ．利用單調(diào)性與奇偶性，只需|g（ ）﹣g（﹣ ）|≤1，解得c，進(jìn)而得出c的取值范圍．（III）h（x）+f（x）=x3﹣7x2+9x+clnx（c是與x無關(guān)的負(fù)數(shù)），h（x）=clnx﹣x2 ， （x＞0）．h′（x）= ﹣2x＜0，因此函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）至多有一個零點(diǎn)．再利用函數(shù)零點(diǎn)判定定理即可判斷出是否有零點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．