Question

【題目】在定義域內給定區間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b）滿足f（x0）= ，則稱函數y=f（x）在區間[a，b]上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點．若函數f（x）=﹣x2+mx+1是[﹣1，1]上的平均值函數，則實數m的取值范圍是

Answer 1

【答案】（0，2）
【解析】解：∵函數f（x）=﹣x2+mx+1是區間[﹣1，1]上的平均值函數，
∴關于x的方程﹣x2+mx+1= 在（﹣1，1）內有實數根．
即﹣x2+mx+1=m在（﹣1，1）內有實數根．
即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．
又1（﹣1，1）
∴x=m﹣1必為均值點，
即﹣1＜m﹣1＜10＜m＜2．
∴所求實數m的取值范圍是（0，2）．
所以答案是：（0，2）
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．