Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且cos

A+B

2

=1-cosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若1+

tanA

tanB

=

2c

b

，且c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

（Ⅰ）∵cos

A+B

2

=1-cosC，∴sin

C

2

=2sin2

C

2

，∴sin

C

2

=

1

2

，或 sin

C

2

=0（舍去）．∴C=60°．
（Ⅱ）由1+

tanA

tanB

=

2c

b

得.

cosAsinB+sinAcosB

cosAsinB

=

2c

b

，即

sinC

cosAsinB

=

2c

b

．
又由正弦定理及上式，得cosA=

1

2

，∴A=60°．∴△ABC是等邊三角形，又c=4，
∴S△ABC=

1

2

absinC=4

3

．