Question

如圖，在斜三棱柱中，點、分別是、的中點，平面．已知，．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成的角；
（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）.

本試題主要考查了立體幾何中的線面平行和異面直線所稱的角，以及線面角的求解的綜合運用，考查了空間想象能力‘
解法一：（Ⅰ）證明：∵點、分別是、的中點，
∴ ，又∵平面，平面，
∴平面．···························· 4分
（Ⅱ）∵平面，∴，又∵，且，
∴平面,∴．··················· 6分
又∵， ∴四邊形為菱形，
∴，且∴平面,
∴，即異面直線與所成的角為．············· 8分
(Ⅲ) 設點到平面的距離為，∵，
即_△．·················· 10分
又∵在△中，,∴_△．
∴，∴與平面所成角的正弦值．·········· 12分

解法二：如圖建系，，
，，   ，．……………2分
（Ⅰ）∵，，∴，，即，
又∵平面，平面，∴平面．······· 6分
（Ⅱ）∵，，∴，即∴，
∴異面直線與所成的角為．···················· 8分
(Ⅲ)設與平面所成角為，∵，
設平面的一個法向量是
不妨令，可得，····················· 10分
∴，∴與平面所成角的正弦值． 12分